căn 2

"Hằng số Pythagoras" gửi hướng về phía trên. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhị của 2 vị với chừng nhiều năm của cạnh huyền của một tam giác vuông sở hữu nhị cạnh lòng vị 1.

Căn bậc nhị của 2, hoặc lũy quá 50% của 2, được ghi chép là 2 hoặc 212, là số đại số dương sao mang lại Lúc nhân với chủ yếu nó, mang lại tao số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhị số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó sở hữu đặc thù tương tự động.

Bạn đang xem: căn 2

Trong hình học tập, căn bậc nhị của 2 là chừng nhiều năm lối chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh nhiều năm 1 đơn vị; xuất phát điểm từ ấn định lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết thứ nhất.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhị của nhị với khuôn số nhỏ vừa phải nên là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 vô OEIS bao gồm những chữ số vô màn trình diễn thập phân của căn bậc nhị của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú thích. Ngoài việc đã cho chúng ta thấy căn bậc nhị của 2 vô hệ lục thập phân (1 24 51 10), bạn dạng khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì lối chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 rất có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ vị 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của 2 vô tư chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, đích thị cho tới khoảng tầm sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân cực tốt của 2 người sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện nay vô văn khiếu nại toán học tập của đè Độ cổ truyền, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng chừng nhiều năm [của cạnh] vị 1 phần phụ vương chủ yếu nó và 1 phần tư của 1 phần phụ vương và giảm xuống 1 phần phụ vương mươi tư của 1 phần tư tê liệt.[2] Tức là,

Các môn vật dụng của Pythagoras phân phát hiện nay rằng lối chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể ví được, hoặc bám theo ngôn từ tân tiến, căn bậc nhị của 2 là một số trong những vô tỉ. Không nhiều điều được thấu hiểu về thời hạn hoặc tình cảnh của tìm hiểu này, tuy nhiên cái brand name thông thường được nói đến là Hippasus của Metapontum. Các môn vật dụng Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhị của 2 là một trong những kín đáo, và bám theo câu nói. kể, Hippasus đã trở nên giết thịt vì thế bật mý nó.[3][4][5] Căn bậc nhị của 2 đôi lúc còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như vô Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số trong những thuật toán nhằm xấp xỉ 2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhị số nguyên vẹn hoặc một số trong những thập phân. Thuật toán thông dụng nhất mang lại việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong vô số nhiều PC và PC tiếp thu, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhị. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một số trong những a0 > 0 bất kì. Sau tê liệt, người sử dụng số vừa phải đoán, tính từng số hạng bám theo công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần triển khai phép tắc tính bên trên (tức là đa dạng phiên tái diễn và số "n" càng lớn), mang lại tao xấp xỉ càng chất lượng của căn bậc nhị của 2. Mỗi phiên tính mang lại tao khoảng tầm gấp rất nhiều lần số chữ số đích thị. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của 2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân vị group của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục mang lại việc tính 2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhị của 2 vô năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với màn trình diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng đắn rộng lớn.[9] Những đo lường như thế đa phần là nhằm đánh giá vị thực nghiệm coi những số tê liệt liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản và giản dị 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc mặc dù có khuôn số đơn thuần 70, chừng sai chéo của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là một trong những giản phân của màn trình diễn liên phân số của căn bậc nhị của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào là ngay sát rộng lớn nên sở hữu khuôn số ko nhỏ nhiều hơn 169, bởi 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp sau với sai số khoảng tầm −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tư vô cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, sở hữu sai số khoảng tầm 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục mới đây trong công việc tính những chữ số của 2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng bốn năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ ngắn ngủn về tính chất vô tỉ của 2 dùng ấn định lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là một trong những nhiều thức monic với thông số nguyên vẹn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào là của P(x) cũng chính là một số trong những nguyên vẹn. gí dụng ấn định lý mang lại nhiều thức P(x) = x2 − 2, tao suy rời khỏi 2 hoặc là số nguyên vẹn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<2<2 nên nó ko là một số trong những nguyên vẹn, vì thế 2 là một số trong những vô tỉ. Chứng minh này rất có thể tổng quát: căn bậc nhị của bất kì số đương nhiên nào là ko nên số chủ yếu phương là một số trong những vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhị hoặc lùi vô hạn mang lại chứng tỏ rằng căn bậc nhị của bất kì số đương nhiên ko nên số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh vị lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi chứng tỏ thông dụng nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là chứng tỏ vị phản triệu chứng, vô tê liệt mệnh đề cần thiết chứng tỏ được fake sử là sai rồi suy rời khỏi fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết chứng tỏ là đích thị.

  1. Giả sử 2 là một số trong những hữu tỉ, tức 2 rất có thể ghi chép bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô tê liệt ab nhân tố bên nhau.
  2. Ta suy rời khỏi a2/b2 = 2a2 = 2b2.   (a2b2 là những số nguyên)
  3. Do tê liệt a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số nguyên vẹn k sao mang lại a = 2k.
  4. Thay 2k mang lại a vô đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tao được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tao được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả ab đều là số chẵn, ngược với fake thiết rằng ab là nhị số nhân tố bên nhau.

Vì tao suy rời khỏi được một điều vô lý, fake sử (1) rằng 2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, 2 nên là một số trong những vô tỉ.

Chứng minh này được khêu ý vị Aristotle, vô cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo thứ nhất xuất hiện nay vô cỗ Trung tâm của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng chứng tỏ này sẽ không ở trong bạn dạng thảo gốc và vì thế ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum mang lại tính vô tỉ của 2.

Một màn trình diễn hình học tập của chứng tỏ bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum Lúc ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và phiên xuất hiện nay mới đây nhất là vô một bài bác báo vị Noson Yanofsky vô tập san American Scientist số mon 5-6 năm nhâm thìn.[14] Cho nhị hình vuông vắn sở hữu cạnh là số nguyên vẹn ab, vô tê liệt một chiếc sở hữu diện tích S gấp rất nhiều lần loại tê liệt, đặt điều nhị hình vuông vắn nhỏ vô hình vuông vắn rộng lớn như vô hình 1. Phần uỷ thác nhau ở thân mật sở hữu diện tích S ((2ba)2) nên vị tổng diện tích S của nhị hình vuông vắn nhỏ ko được lấp phủ (2(ab)2). Như vậy tao chiếm được nhị hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn lúc đầu và diện tích S tính năng này gấp rất nhiều lần loại tê liệt. Lặp lại quy trình này tao rất có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên nhân bọn chúng nên sở hữu cạnh là số nguyên vẹn dương, tức to hơn hoặc vị 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol mang lại tính vô tỉ của 2.

Một chứng tỏ hình học tập dùng phản triệu chứng không giống xuất hiện nay năm 2000 vô tập dượt san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là một trong những chứng tỏ dùng cách thức lùi vô hạn, đôi khi dùng phép tắc dựng hình vị thước kẻ và compa và đã được biết kể từ thời Hy Lạp cổ truyền.

Lấy ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mũi n như vô Hình 2. Theo ấn định lý Pythagoras, m/n = 2. Giả sử mn là những số nguyên vẹn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BDCE với tâm A. Nối DE rời BC bên trên F. Dễ thấy, nhị tam giác ABCADE đều bằng nhau bám theo cạnh-góc-cạnh.

Ngoài rời khỏi tao cũng thấy BEF là tam giác vuông cân nặng. Do tê liệt BE = BF = mn. Theo tính đối xứng, DF = mn, và FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy rời khỏi FC = n − (mn) = 2nm.

Như vậy tao sở hữu một tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2nm và cạnh mặt mũi mn. Chúng nhỏ rộng lớn mn tuy nhiên sở hữu nằm trong tỉ trọng, ngược với fake thiết là m:n là tối giản. Do tê liệt, mn ko thể nằm trong là số nguyên vẹn, nên 2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía cút không giống mang ý nghĩa kiến thiết là thiết lập 1 vách ngăn bên dưới mang lại hiệu của 2 và một số trong những hữu tỉ bất kì. Với nhị số nguyên vẹn dương ab, số nón đích thị của 2 (tức số nón của 2 vô khai triển rời khỏi quá số nguyên vẹn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số nguyên vẹn không giống nhau; vì thế | 2b2a2 | ≥ 1 với từng a, b nguyên vẹn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: Cập nhật tỷ số bóng đá, tỷ số trực tuyến tin hôm nay nhanh nhất

bất đẳng thức cuối đích thị bởi tao fake sử a/b ≤ 3 − 2 (nếu ko thì hiệu bên trên phân biệt to hơn 3 − 22 > 0). Bất đẳng thức này mang lại tao ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | 2a/b |, kể từ tê liệt kéo đến chứng tỏ tính vô tỉ thẳng tuy nhiên ko cần thiết fake sử phản triệu chứng. Chứng minh này cho rằng tồn bên trên một khoảng cách thân mật 2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ nào là.

Tính hóa học của căn bậc nhị của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của 2, đôi khi cũng chính là nghịch tặc hòn đảo của 2, xấp xỉ vị 0.707106781186548, là một trong những độ quý hiếm thông thường bắt gặp vô hình học tập và lượng giác vì thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì sở hữu tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm sở hữu tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b sở hữu tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội đổi khác về phương trình bậc nhị, tao rất có thể giải được δS = 1 + 2.

2 rất có thể được màn trình diễn bám theo đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhị và những phép tắc toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhị được khái niệm phải chăng mang lại số phức ii.

2 cũng chính là số thực độc nhất không giống 1 tuy nhiên tetration vô hạn phiên vị với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố ngặt nghèo như sau: nếu như với số thực c > 1 tao khái niệm x1 = cxn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Lúc n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy 2 là số c > 1 độc nhất thỏa f(c) = c2. Hay thưa cơ hội khác:

2 cũng xuất hiện nay vô công thức Viète mang lại π:

với m vệt căn và đích thị một vệt trừ.[17]

Ngoài rời khỏi, 2 còn xuất hiện nay trong vô số nhiều hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn chưa chắc chắn liệu 2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc thù mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách tổng hợp màn trình diễn của chính nó vô hệ nhị phân đã cho chúng ta thấy sở hữu kĩ năng nó chuẩn chỉnh vô hệ cơ số nhị.[19]

Biểu biểu diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/2, cùng theo với những màn trình diễn tích vô hạn của sin và cosin mang lại ta

hoặc tương tự,

Ngoài rời khỏi tao rất có thể người sử dụng chuỗi Taylor của những dung lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor mang lại cos π/4 mang lại ta

Chuỗi Taylor mang lại 1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! mang lại ta

Sử dụng đổi khác Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của mặt hàng, tao được

Một công thức dạng BBP mang lại 2 vẫn không được thám thính rời khỏi, song vẫn sở hữu những công thức dạng BBP mang lại π22ln(1+2).[20]

2 rất có thể màn trình diễn vị phân số Ai Cập, với khuôn số vị những số hạng loại 2n của một mặt hàng hồi quy tuyến tính kiểu như mặt hàng Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhị của 2 vị mặt hàng giản phân.

Căn bậc nhị của 2 sở hữu màn trình diễn vị liên phân số sau:

Những giản phân thứ nhất là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội 2 một khoảng tầm ngay sát vị 1/2q22[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về 2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhị của 2 (căn bậc nhị của 1/2) là một trong những hằng số thông thường người sử dụng.

Xem thêm: anh chẳng còn nhớ cảm giác đầu tiên

(dãy số A010503 vô bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS vật lý cơ người Đức Georg Lichtenberg[22] phân phát hiện nay rằng ngẫu nhiên tờ giấy tờ nào là sở hữu cạnh nhiều năm dài hấp tấp 2 phiên cạnh ngắn ngủn rất có thể được gấp rất nhiều lần muốn tạo trở nên một tờ giấy tờ mới nhất sở hữu tỉ trọng y chang tờ lúc đầu. Tỉ lệ giấy tờ này đảm bảo an toàn rằng rời giấy tờ trở nên nhị nửa tạo ra những tờ giấy tờ nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ trọng. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa khung giấy vô vào đầu thế kỷ đôi mươi, chúng ta người sử dụng tỉ trọng của Lichtenberg muốn tạo trở nên giấy tờ cực khổ "A".[22] Hiện ni, tỉ trọng khuông hình (xấp xỉ) của khung giấy bám theo chi phí chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:2.

Chứng minh:
Gọi cạnh ngắn ngủn và cạnh nhiều năm của tờ giấy tờ, với

bám theo ISO 216.

Gọi là tỉ số của 1/2 tờ giấy tờ thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhị của 3
  • Căn bậc nhị của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + 2
  • Căn bậc nhị của 2 tạo hình vô mối quan hệ trong những f-stop của thấu kính máy hình họa, kéo đến tỉ trọng diện tích thân mật nhị khẩu chừng tiếp tục là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 22.
  • Công thức Viète mang lại pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc mặc dù ngày này cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá thông dụng, không tồn tại vật chứng thẳng nào là đã cho chúng ta thấy cơ hội người Babylon tính xấp xỉ 2 bên trên bạn dạng khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson lời khuyên một số trong những fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày đôi mươi mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Lúc ghi chép về triệu chứng mihn vị phản triệu chứng, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể ví được với cạnh của chính nó, cũng chính vì số lẻ tiếp tục thông qua số chẵn nếu như bọn chúng ví được với nhau".
  12. ^ Phiên bạn dạng giờ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất bạn dạng vị E. F. August bên trên Berlin vô 1826–1829 đem chứng tỏ này vô phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên bạn dạng của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm nhâm thìn.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú thích 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach to lớn Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng bốn năm 2010.Quản lý CS1: bạn dạng tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu giúp mặt hàng số nguyên vẹn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of 2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, vô Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, Phường. (2001), “Pythagoras' Constant: 2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhị của Hai cho tới 5 triệu chữ số vị Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhị của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn tập dượt những triệu chứng minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root 2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.