tiên đề ơ cơ lít

Bách khoa toàn thư cởi Wikipedia

Hình học

Hình chiếu một phía cầu lên phía trên mặt phẳng phiu.

Bạn đang xem: tiên đề ơ cơ lít

  • Đại cương
  • Lịch sử

Phân nhánh

  • Euclid
  • Phi Euclid
    • Elliptic
      • Cầu
    • Hyperbol
  • Hình học tập phi Archimedes
  • Chiếu
  • Afin
  • Tổng hợp
  • Giải tích
  • Đại số
    • Số học
    • Diophantos
  • Vi phân
    • Riemann
    • Symplectic
  • Phức
  • Hữu hạn
  • Rời rạc
    • Kỹ thuật số
  • Lồi
  • Tính toán
  • Fractal
  • Liên thuộc

Khái niệm

Chiều

  • Phép dựng hình vị thước kẻ và compa
  • Đỉnh
  • Đường cong
  • Đường chéo
  • Góc
  • Song song
  • Vuông góc
  • Đối xứng
  • Đồng dạng
  • Tương đẳng

Không chiều

  • Điểm

Một chiều

  • Đường thẳng
    • Đoạn thẳng
    • Tia
  • Chiều dài

Hai chiều

  • Mặt phẳng
  • Diện tích
  • Đa giác
Tam giác
  • Đường cao (tam giác)
  • Cạnh huyền
  • Định lý Pythagoras
Hình bình hành
  • Hình vuông
  • Hình chữ nhật
  • Hình thoi
  • Rhomboid
Tứ giác
  • Hình thang
  • Hình diều
Đường tròn
  • Đường kính
  • Chu vi
  • Diện tích

Ba chiều

  • Thể tích
  • Khối lập phương
    • Hình vỏ hộp chữ nhật
  • Hình trụ tròn
  • Hình chóp
  • Mặt cầu

Bốn chiều / số chiều khác

  • Tesseract
  • Siêu cầu
Nhà hình học

theo tên

  • Aida
  • Aryabhata
  • Ahmes
  • Alhazen
  • Apollonius
  • Archimedes
  • Atiyah
  • Baudhayana
  • Bolyai
  • Brahmagupta
  • Cartan
  • Coxeter
  • Descartes
  • Euclid
  • Euler
  • Gauss
  • Gromov
  • Hilbert
  • Jyeṣṭhadeva
  • Kātyāyana
  • Khayyám
  • Klein
  • Lobachevsky
  • Manava
  • Minkowski
  • Minggatu
  • Pascal
  • Pythagoras
  • Parameshvara
  • Poincaré
  • Riemann
  • Sakabe
  • Sijzi
  • al-Tusi
  • Veblen
  • Virasena
  • Yang Hui
  • al-Yasamin
  • Trương Hành

theo giai đoạn

trước Công nguyên
  • Ahmes
  • Baudhayana
  • Manava
  • Pythagoras
  • Euclid
  • Archimedes
  • Apollonius
1–1400s
  • Trương Hành
  • Kātyāyana
  • Aryabhata
  • Brahmagupta
  • Virasena
  • Alhazen
  • Sijzi
  • Khayyám
  • al-Yasamin
  • al-Tusi
  • Yang Hui
  • Parameshvara
1400s–1700s
  • Jyeṣṭhadeva
  • Descartes
  • Pascal
  • Minggatu
  • Euler
  • Sakabe
  • Aida
1700s–1900s
  • Gauss
  • Lobachevsky
  • Bolyai
  • Riemann
  • Klein
  • Poincaré
  • Hilbert
  • Minkowski
  • Cartan
  • Veblen
  • Coxeter
Ngày nay
  • Atiyah
  • Gromov
  • x
  • t
  • s
Hình vẽ minh họa cho tới tuyên bố gốc của Euclid về định đề tuy vậy tuy vậy.

Trong hình học tập, định đề tuy vậy song (tiếng Anh: parallel postulate) hoặc định đề loại năm của Euclid vì thế là tiên đề loại năm vô cuốn Thương hiệu của Euclid, là một trong những định đề vô hình học tập Euclid. Nội dung của định đề này như sau:

Nếu một quãng trực tiếp tách hai tuyến đường trực tiếp không giống nhưng mà tạo nên nhì góc ở và một phía đem tổng số đo nhỏ hơn nhì góc vuông, hai tuyến đường trực tiếp bại liệt nếu như kéo dãn rời khỏi tiếp tục tách nhau bên trên phía đem nhì góc đem tổng số đo nhỏ rộng lớn nhì góc vuông bại liệt.

Mệnh đề này sẽ không trình bày thẳng cho tới những đường thẳng liền mạch tuy vậy tuy vậy, nhưng mà kể từ bại liệt dẫn cho tới sự tuy vậy song của những đàng thẳng[1]. Euclid đã lấy rời khỏi khái niệm về những đường thẳng liền mạch tuy vậy song vô câu loại 23[2] - cuốn 1 của cuốn sách Thương hiệu, tức thì trước lúc trình bày cho tới 5 định đề hình học[3].

Năm định đề nhưng mà định đề loại năm được trình bày vô nội dung bài viết này là hạ tầng cho tới hình học tập Euclid - ngành hình học tập mặc cả 5 định đề đều trúng nhưng mà vô bại liệt đem định đề tuy vậy song này. Một thời hạn lâu năm, người tao nhận định rằng mệnh đề này là rõ ràng và không nhất thiết phải chứng tỏ, một trong những phần cũng vì thế sự thất bại của những mái ấm toán học tập trong các việc chứng tỏ nó. Tuy nhiên, đem một trong những mái ấm toán học tập tiếp tục không đồng ý định đề này - kể từ bại liệt thể hiện những thể mô hình học tập mới nhất nhưng mà được gọi cộng đồng là hình học tập phi Euclid. Cũng mang trong mình một nhánh của hình học tập nhưng mà ở bại liệt chỉ quan hoài cho tới tư định đề trước tiên của Euclid được gọi là hình học tập vô cùng (absolute geometry) hoặc hình học tập trung lập (neutral geometry).

Các mệnh đề tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Tiên đề này còn có vô số phương pháp tuyên bố không giống nhau tương tự về mặt mày Toán học tập, và một trong các số này là định đề của Playfair, được gọi là ở trong phòng toán học tập người Scotland John Playfair, tuyên bố như sau:

Trong mặt mày phẳng phiu, qua chuyện một đường thẳng liền mạch và một điểm ko nằm trong đường thẳng liền mạch cho tới trước, hoàn toàn có thể kẻ một và có một đường thẳng liền mạch trải qua điểm và tuy vậy song với đường thẳng liền mạch cho tới trước[4].

Tiên đề này phiên bản thân thuộc nó ko tương tự về mặt mày logic với vẹn toàn phiên bản của Euclid - Khi nhưng mà đem những mô hình học tập nhưng mà định đề này trúng, đem vài ba loại thì ko. Tuy nhiên, nếu như tao xét cho tới hình học tập Euclid, định đề này hoàn toàn có thể được dùng nhằm chứng tỏ định đề sót lại - kể từ bại liệt xuất hiện ý nghĩa sâu sắc tương tự vô hình học tập tuyệt đối[5].

Xem thêm: king of wands trong tình yêu

Có nhiều mệnh đề không giống tương tự với định đề tuy vậy song đang được khuyến cáo, một vài ba vô số bọn chúng nom có vẻ như ko tương quan cho tới sự tuy vậy song lắm, một vài ba lại theo đòi vòng lặp Khi nhận định rằng định đề này là trúng và nỗ lực chứng tỏ định đề này bằng phương pháp dùng fake thuyết bại liệt một cơ hội vô thức. Các mệnh đề được khuyến cáo hoàn toàn có thể kể đến:

  1. Luôn mang trong mình một và có một đường thẳng liền mạch hoàn toàn có thể kẻ tuy vậy song với đường thẳng liền mạch tiếp tục cho tới, trải qua một điểm ko nằm trong đường thẳng liền mạch này được cho tới trước - định đề của Playfair.
  2. Tổng tía góc của từng tam giác đều vị 180° - định đề tam giác (tiếng Anh: Triangle postulate)
  3. Luôn tồn bên trên một tam giác đem tổng tía góc vị 180°.
  4. Tổng những góc vào cụ thể từng tam giác luôn luôn đều bằng nhau.
  5. Tồn bên trên một cặp tam giác đồng dạng tuy nhiên ko tương đẳng cùng nhau.
  6. Tam giác bất kì luôn luôn nội tiếp một đàng tròn trặn.
  7. Nếu tía góc của một tứ giác là góc vuông, góc sót lại cũng chính là góc vuông.
  8. Tồn bên trên một hình bình hành đem toàn bộ những góc là góc vuông, được gọi là hình chữ nhật.
  9. Tồn bên trên một cặp đường thẳng liền mạch luôn luôn tồn bên trên khoảng cách cùng nhau, với nhì điểm bất kì theo lần lượt nằm trong hai tuyến đường trực tiếp bại liệt.
  10. Hai đường thẳng liền mạch nằm trong tuy vậy song với cùng một đường thẳng liền mạch thì tuy vậy song cùng nhau.
  11. Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền vị tổng bình phương nhì cạnh góc vuông - ấn định lý Py-ta-go.[6] [7]
  12. Định lý cos là tình huống tổng quát lác của ấn định lý Pythagoras.
  13. Diện tích của một tam giác không tồn tại số lượng giới hạn - định đề của Wallis[8]
  14. Hai góc lòng của tứ giác Saccheri luôn luôn vị 90°.
  15. Nếu một đường thẳng liền mạch tách một trong các hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song cùng nhau và tía đường thẳng liền mạch này đồng phẳng phiu, thì đường thẳng liền mạch này sẽ tách đường thẳng liền mạch tuy vậy song sót lại - định đề của Proclus[9].

Dù vậy, những mệnh đề chứa chấp kể từ "song song" xuất hiện tại vô mệnh đề bại liệt đơn giản và giản dị rộng lớn cơ hội khái niệm cơ phiên bản của Euclid vô câu 30 của cuốn loại Nhất - Thương hiệu của tôi, thông thường là: luôn luôn trực tiếp đem khoảng cách cùng nhau - ko khi nào tách nhau - nằm trong tạo nên một góc nếu như nằm trong được tách vị một đường thẳng liền mạch loại tía. Lấy ví dụ với định đề của Playfair, Khi ông khái niệm sự tuy vậy song là sự việc hai tuyến đường trực tiếp luôn luôn đem khoảng cách cùng nhau hoặc nằm trong góc Khi tách vị một đường thẳng liền mạch không giống, kể từ bại liệt không thể tương tự với định đề loại năm của Euclid nữa - Khi hoàn toàn có thể chứng tỏ dùng tư định đề trước tiên. Chú ý rằng những cơ hội khái niệm này sẽ không tương tự trọn vẹn cùng nhau, Khi vô hình học tập hyperbol đem tới nhì khái niệm về việc tuy vậy song của những đường thẳng liền mạch.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Từ ban sơ, người tao nhận định rằng phía trên ko nên là một trong những định đề Khi nó hoàn toàn có thể chứng tỏ được, và vô trong cả nhì ngàn năm, đem thật nhiều nỗ lực của những mái ấm toán học tập trong các việc dùng tư định đề trước tiên và những hệ ngược của chính nó nhằm giải quyết và xử lý vấn đề[10]. Lý vì thế cho tới những sự nỗ lực này là vì như thế, rất khác với tư định đề trước tiên, định đề tuy vậy song này nom ko rõ ràng lắm. Dù cho tới nhiều nỗ lực đang được ném ra, đem một trong những chứng tỏ được nghĩ rằng trúng cho đến Khi những sai lầm đáng tiếc được chỉ ra rằng, với lỗi sai thịnh hành nhất thông thường là quá nhận những mệnh đề tương tự với định đề cần thiết chứng tỏ, ví như định đề của Playfair là trúng. Tiên đề này cũng được John Playfair đòi hỏi thay cho thế vẹn toàn phiên bản của Euclid vô một lời nói phản hồi phổ biến về Euclid vô năm 1795, tuy vậy cho đến ni, định đề này vẫn là một trong những định đề ko thể chứng tỏ.

Proclus (410-485) tiếp tục phản hồi về cuốn sách Thương hiệu rằng ông đã và đang test chứng tỏ nhằm kể từ bại liệt rút gọn gàng tiên đề loại năm trải qua tư định đề trước tiên, cũng chỉ ra rằng Ptolemy đã lấy rời khỏi một chứng tỏ sai, tuy vậy ông cũng ko khá rộng lớn là bao. Tuy nhiên, ông đã và đang tuyên bố được một mệnh đề tương tự với định đề này.

Ibn al-Haytham hoặc Alhazen (965-1039), một mái ấm toán học tập người Ả Rập tiếp tục nỗ lực chứng tỏ tiên đề này vị phản chứng[11], việc này tiếp tục vô tình chung ông thể hiện định nghĩa về những luật lệ dời hình vô hình học[12]. Ông cũng thể hiện khái niệm về tứ giác Lambert, nhưng mà sau này được Boris Abramovich Rozenfeld gọi là là "tứ giác Ibn-al-Haytham-Lambert"[13], và sự chứng tỏ của ông cũng dùng những nhân tố vô tứ giác Lambert và định đề của Playfair[14].

Nhà toán học tập người Ba Tư Omar Khayyám (1050-1123) đã và đang test thể hiện chứng tỏ bằng sự việc chứng tỏ một mệnh đề tương tự động được thể hiện trải qua tư mệnh đề ban đầu: "Hai đường thẳng liền mạch quy tụ tiếp tục tách nhau, và ko thể khiến cho hai tuyến đường trực tiếp phân kì ở phía nhưng mà bọn chúng hội tụ[15]". Ông đã và đang thể hiện được những sản phẩm nhưng mà sau đây thuộc sở hữu hình học tập elliptic và hình học tập hyperbol, tuy vậy tiên đề nhưng mà ông dùng đựng nhiều sự mâu thuẫn[16]. Ông ko nỗ lực chứng tỏ định đề tuy vậy song giống như các mái ấm toán học tập chuồn trước và chuồn sau ông (mà vô bại liệt đem Giovanni Girolamo Saccheri), tuy nhiên cũng trị xuất hiện rằng nếu như hai tuyến đường trực tiếp nằm trong vuông góc với cùng một đường thẳng liền mạch nhưng mà tách một đường thẳng liền mạch không giống tuy vậy song với đường thẳng liền mạch được tách. Nếu như nhì góc vừa mới được tạo ra trở nên là góc vuông, tao nhận được định đề loại năm của Euclid, tuy nhiên nếu như không nên, nhì góc bại liệt hoặc nằm trong nhọn hoặc nằm trong tù. Khayyam tiếp tục cho là nhì tình huống này tiếp tục dẫn cho tới những sự xích míc chiếu theo đòi định đề ông đưa ra, tuy vậy định đề của ông ko tương tự với định đề của Euclid.

Mô mô tả cho tới định đề tuy vậy song của Euclid - phiên phiên bản của Playfair trong những hệ hình học tập không giống nhau: Euclid (1) - - Elliptic (2) và Hyperbol (3)

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) vô cuốn "Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya" (Luận về những yếu tố của những đường thẳng liền mạch tuy vậy song - ghi chép năm 1250) đã lấy rời khỏi những lời nói phê bình về định đề tuy vậy song và những nỗ lực chứng tỏ của Khayyam rộng lớn một thế kỉ trước[17]. Nasir đã và đang test chứng tỏ định đề này vị phản hội chứng, và xét những tình huống nhưng mà thời nay là hình học tập elliptic/hyperbolic cho dù ko tin cậy những tình huống này hoàn toàn có thể xảy ra[16].Con trai của ông, Sadr al-Din (được biết cho tới là Pseudo-Tusi) đã và đang ghi chép một cuốn sách về chủ thể này vô năm 1298 dựa vào những tâm trí sau đây của những người thân phụ - cuốn sách đã lấy rời khỏi một trong mỗi tranh giành cãi nhanh nhất về hình học tập phi Euclid trong các việc mang trong mình một mệnh đề tương tự với định đề tuy vậy tuy vậy. Ông tiếp tục sửa thay đổi kha khá khối hệ thống định đề và mệnh đề của Euclid, kèm theo với này là thể hiện những chứng tỏ mới nhất và không giống đối với vẹn toàn phiên bản cuốn sách Cơ sở[18][19]. Những phân tích này của Sadr al-Din được phiên trước tiên công khai minh bạch ở Rome vô năm 1594 và được những mái ấm hình học tập châu Âu nối tiếp té sung[18], cũng góp thêm phần chung Saccheri hợp tác vào việc này nhưng mà sau cùng thể hiện được những phản biện vô lý luận của Sadr và tiếp sau đó thao tác làm việc với Wallis[20].

Giordano Vitale (1633-1711) vô cuốn sách Euclide restituo (Tái dựng Euclid, 1680, 1686) của tôi tiếp tục dùng tứ giác Saccheri nhằm chứng tỏ rằng nếu như đem 3 điểm bên trên nhì cạnh AB và CD cơ hội đều nhau, thì từng điểm bên trên hai tuyến đường trực tiếp này cơ hội đều nhau. Girolamo Saccheri (1667-1733) đã và đang theo đòi xua đuổi chứng tỏ tương tự động, tiếp tục vô tình chứng tỏ được mệnh đề này trúng từ là một tình huống sai tuy nhiên ko thể chứng tỏ vô tình huống tổng quát lác.

Năm 1766, Johann Heinrich Lambert tiếp tục ghi chép cuốn Theorie der Parallellinien (Lý thuyết của việc tuy vậy song) tuy nhiên ko xuất phiên bản, nhưng mà ở vô bại liệt ông - như thể với Saccheri tiếp tục cố chứng tỏ định đề loại năm này. Ông dùng đối tượng người dùng nhưng mà thời nay tao gọi là tứ giác Lambert - một tứ giác đem tía góc vuông. Lambert nhanh gọn lẹ loại trừ năng lực rằng góc loại tư sót lại nên vuông, kể từ bại liệt tiếp cận nhiều ấn định lý sau thời điểm coi góc sót lại nhọn hoặc tù. Không như thể với Saccheri, ông ko khi nào cảm nhận thấy phiên bản thân thuộc tôi đã va vấp được vô sự bất hợp lí của phản hội chứng Khi chuồn theo phía này, tuy nhiên đã và đang chứng tỏ vô hình học tập phi Euclid rằng tổng tía góc vô một tam giác tăng nếu mà diện tích S tam giác bại liệt tách - kể từ bại liệt tiếp cận phỏng đoán về năng lực tồn bên trên một quy mô toán học tập mới nhất, tuy vậy ko trả ý tưởng phát minh này ra đi hơn[21].

Khi nhưng mà những phía chuồn của Khayyam hoặc Saccheri trong các việc chứng tỏ định đề loại năm của Euclid trải qua việc chưng quăng quật năng lực có một không hai hoàn toàn có thể xẩy ra, thế kỉ IXX tận mắt chứng kiến việc những mái ấm toán học tập tiếp tục lần rời khỏi những năng lực mới nhất và thấy rằng yếu tố này hoàn toàn có thể nằm ở vị trí sự thiếu thốn nhất quán về mặt mày logic. Trong năm 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky công tía phân tích của tôi về một mô hình học tập mới nhất bên trên một tập san giờ đồng hồ Nga, sau đây được tái mét công tía lại vị giờ đồng hồ Đức năm 1840. Năm 1831, János Bolyai tiếp tục bổ sung cập nhật thêm vô cuốn sách vì thế thân phụ ông ghi chép một phụ lục về hình học tập hyperbol - hoặc trình bày Theo phong cách không giống ông và Lobachevsky đang được nằm trong trở nên tân tiến một ý tưởng phát minh một cơ hội song lập cùng nhau. Carl Friedrich Gauß cũng phân tích yếu tố này tuy nhiên ko công tía bất kể sản phẩm nào là. Sau Khi sẽ có được thư của những người thân phụ của Bolyai - Farkas Bolyai nói tới sản phẩm phân tích của Bolyai, ông tiếp tục đáp lại rằng:

Nếu tôi trình bày tức thì rằng tôi ko thể khen ngợi dự án công trình này, chắc rằng ông tiếp tục nên bất thần lắm, tuy nhiên tôi thiệt sự ko thể. Nếu tôi khen ngợi dự án công trình này, không khác gì tôi đang được ca tụng chủ yếu bản thân cả. Xuyên trong cả nội dung của phiên bản phân tích này, những điều nhưng mà nam nhi ông đã thử được và những sản phẩm cậu ấy tiếp tục rút rời khỏi được, nó gần như là như thể với những gì tôi tiếp tục tâm trí và thể hiện, điều tiếp tục luôn luôn khiến cho tôi hiện tượng đau đầu vô trong cả tía mươi - tía mươi lăm năm qua[22].

Các mô hình học tập hệ ngược được trở nên tân tiến sau đây vị Lobachevsky, Riemann và Henri Poincaré bao gồm đem hình học tập hyperbol (trong tình huống góc sót lại nhọn) và hình học tập elliptic (trong tình huống góc sót lại tù). Sự song lập với định đề tuy vậy song của Euclid với những định đề không giống phiên trước tiên được thể hiện tại vị Eugenio Beltrami vô năm 1868.

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid ko hề rút rời khỏi được những hệ ngược hoặc ấn định lý hòn đảo cho tới định đề loại năm của ông, này cũng là một trong những vô số những nguyên nhân nhằm hoàn toàn có thể phân biệt hình học tập Euclid với hình học tập elliptic. Sở Thương hiệu cũng đều có một chứng tỏ cho tới mệnh đề về việc tuy vậy song:

Nếu một đường thẳng liền mạch tách hai tuyến đường trực tiếp tiếp tục tách nhau tạo nên nhì góc sánh le đều bằng nhau, thì đường thẳng liền mạch bại liệt tuy vậy song với một trong các hai tuyến đường trực tiếp ban đầu - Euclid, Mệnh đề 27[23], cuốn I - Thương hiệu.

Sau này Khi được Augustus De Morgan[24]chỉ rời khỏi, người tao thấy rằng mệnh đề này tương tự về mặt mày logic với:

Trong tam giác bất kì, nếu như một cạnh của tam giác to hơn cả nhì cạnh sót lại, thì góc đối lập của cạnh này cũng tiếp tục to hơn nhì góc sót lại. - Euclid, Mệnh đề 16[25], cuốn I - Thương hiệu.

Xem thêm: tvhay.org đấu la đại lục

Hai mệnh đề này trọn vẹn ko tùy theo định đề loại năm, tuy nhiên lại cần thiết nền tảng là định đề loại nhì, vấn đề đó khiến cho nhì mệnh đề này sai vô hình học tập elliptic.

Luôn hoàn toàn có thể kéo dãn một quãng trực tiếp vô hạn về cả nhì phía đầu mút - Euclid, Tiên đề 2[26], cuốn I - Thương hiệu.

Chỉ trích[sửa | sửa mã nguồn]

Các nỗ lực nhằm chứng tỏ định đề này một cơ hội logic bị chỉ trích vị Arthur Schopenhauer vô cuốn The World as Will and Representation của ông. Tuy nhiên, sự chỉ trích này vị Schopenhauer triệu tập vô việc định đề này luôn luôn trực tiếp trúng và không nhất thiết phải chứng tỏ, ko nên là vì đem sự tuần tự động thông trong cả về mặt mày logic đối với những định đề khác[27].

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Euclid
  • Hình học tập Euclid và hình học tập phi Euclid
  • Cơ sở

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ “Wayback Machine” (PDF). web.archive.org. 2 mon hai năm 2017. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 2 mon hai năm 2017. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  2. ^ “Euclid's Elements, Book I, Definition 23”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  3. ^ “Euclid's Elements, Book I”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  4. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 30”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  5. ^ Henderson, David W. (2005). Experiencing geometry : Euclidean and non-Euclidean with history. Daina Taimin̦a (ấn phiên bản 3). Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-143748-8. OCLC 55518440.
  6. ^ Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (ấn phiên bản 2). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-347-2. OCLC 50252094.
  7. ^ Pruss, Alexander R. (2006). The principle of sufficient reason : a reassessment. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85959-2. OCLC 228144795.
  8. ^ “Euclid's Fifth Postulate”. www.cut-the-knot.org. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  9. ^ Weisstein, Eric W. “Proclus' Axiom”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  10. ^ Euclid (1956). The thirteen books of Euclid's Elements. Thomas Little, Sir Heath . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2. OCLC 355237.
  11. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  12. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  13. ^ Rozenfelʹd, B. A. (1988). A history of non-Euclidean geometry : evolution of the concept of a geometric space. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6449-1. OCLC 15550634.
  14. ^ “A JSTOR Time Line”, JSTOR, Princeton: Princeton University Press, tr. XXVII–XXXVI, 31 mon 12 năm 2012, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  15. ^ Encyclopedia of the history of Arabic science. Rushdī. Rāshid, Régis Morelon. London: Routledge. (2000 printing). ISBN 0-415-02063-8. OCLC 34731151. Quản lý CS1: không giống (liên kết)
  16. ^ a b “Arabic nautical science”, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Routledge, tr. 216–256, 8 mon 8 năm 2019, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  17. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  18. ^ a b Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  19. ^ “Arabic nautical science”, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Routledge, tr. 216–256, 8 mon 8 năm 2019, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  20. ^ “Giovanni Saccheri - Biography”. Maths History (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  21. ^ “Johann Heinrich Lambert - Biography”. Maths History (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  22. ^ Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and non-Euclidean geometry. Thành Phố New York. ISBN 0-8247-1748-1. OCLC 8953706.
  23. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 27”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  24. ^ Heath, T.L., The thirteen books of Euclid's Elements, Vol.1, Dover, 1956, pg.309.
  25. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 16”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  26. ^ “Euclid's Elements, Book I, Postulate 2”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  27. ^ https://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf